Ideals, varieties, and algorithms

La geometría algebraica es el estudio de sistemas de ecuaciones polinómicas en una o más variables, y plantea preguntas como: ¿tiene el sistema finitas soluciones y, en tal caso, cómo se pueden hallar? Y si hay infinitas soluciones, ¿cómo se pueden describir y manipular?

Las soluciones de un sistema de ecuaciones polinómicas forman un objeto geométrico llamado variedad; el objeto algebraico correspondiente es un ideal. Existe una estrecha relación entre ideales y variedades que revela el vínculo íntimo entre el álgebra y la geometría. Escrito a un nivel adecuado para estudiantes universitarios, este libro aborda temas como el Teorema de la Base de Hilbert, el Nullstellensatz, la teoría de invariantes, la geometría proyectiva y la teoría de la dimensión.

Los algoritmos para responder a preguntas como las planteadas anteriormente son una parte importante de la geometría algebraica. Este libro fundamenta su análisis de los algoritmos en una generalización del algoritmo de división para polinomios en una variable, descubierta recién en la década de 1960. Aunque las raíces algorítmicas de la geometría algebraica son antiguas, sus aspectos computacionales fueron descuidados durante gran parte de la primera mitad de este siglo.

Esta situación ha cambiado en los últimos años, y los nuevos algoritmos, junto con la potencia de las computadoras rápidas, han dado lugar a aplicaciones interesantes, por ejemplo, en robótica y en la demostración automática de teoremas geométricos.